四大公式

1. 加法公式 (Addition Law)

  • 核心功能: 计算多个事件中至少一个发生的概率。

  • 关键词: “或” (OR)

  • 公式:

    • 任意事件: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) 「P(A+B)」

    • 互斥事件 (A和B不能同时发生): P(A∪B)=P(A)+P(B)

  • 注意: 使用时首先要判断事件是否互斥，如果可能同时发生，切记减去重叠部分 P(A∩B)。

2. 乘法公式 (Multiplication Law)

  • 核心功能: 计算多个事件同时发生的概率。

  • 关键词: “与”、“和”、“同时” (AND)

  • 公式:

    • 任意事件: P(A∩B)=P(A)×P(B∣A)

    • 独立事件 (A的发生不影响B): P(A∩B)=P(A)×P(B)

  • 注意: 使用时首先要判断事件是否独立。P(B∣A) 是条件概率，指在A发生的条件下B发生的概率。

3.全概率公式 (Total Probability Formula)

  • 核心功能: 当一个结果 (A) 可由多个互斥的原因 (B1​,B2​,...) 导致时，用此公式计算结果 (A) 发生的总概率。被称为“由因求果”。

  • 核心思想: “化整为零，聚零为整”——把复杂事件A的概率，分解为在各种原因 Bi​ 下发生的概率之和。

  • 公式:

  • 解题步骤:

    1. 找到完备事件组 Bi​ (所有可能的原因)。

    2. 确定每个原因的概率 P(Bi​)。

    3. 确定每个原因下，结果A发生的条件概率 P(A∣Bi​)。

    4. 将以上各项“加权求和”。

4. 贝叶斯公式 (Bayes' Theorem)

  • 核心功能: 在已知结果 (A) 已经发生的情况下，反过来推断它是由某个特定原因 (Bk​) 导致的概率。被称为“执果索因”。

  • 核心思想: 利用新信息（结果A）来更新我们对原因 Bk​ 发生可能性的认知。

  • 公式:

  • 注意:

    • 分子是导致该结果的特定路径的概率。

    • 分母是该结果发生的所有可能路径的概率之和（即全概率公式）。

一维随机变量及其分布总结

在概率论和统计学中，随机变量是研究随机现象的核心工具。一维随机变量特指其所有可能取值为一维实数的变量。

1. 随机变量的基本概念

随机变量 (Random Variable) 是一个变量，其值是随机事件的结果。简单来说，它是对随机试验结果的数值描述。通常用大写字母 X,Y,Z 等表示。

一维随机变量 是指其所有可能取值可以用一维数轴上的点来表示的随机变量。

根据取值的特点，一维随机变量可以分为两类：

  • 离散型随机变量 (Discrete Random Variable): 变量的全部可能取值是有限个或可列举的无限个。例如，抛硬币正面出现的次数、一天内网站的访问人数等。

  • 连续型随机变量 (Continuous Random Variable): 变量的全部可能取值可以取某一区间内的任意实数。例如，一个人的身高、零件的寿命、室外温度等。

2. 离散型随机变量及其分布

2.1 概率质量函数 (Probability Mass Function, PMF)

对于离散型随机变量 X，我们用 概率质量函数（也称分布律）来描述其概率分布。它给出了 X 取每个可能值的概率。

记 X 的可能取值为 x1​,x2​,…,xn​,…，其分布律为：

P(X=xi​)=pi​,i=1,2,…

分布律必须满足以下两个性质：

  1. 非负性: pi​≥0

  2. 归一性: ∑i=1∞​pi​=1

2.2 常见离散分布

1.两点分布（伯努利分布）

小故事：

假设工厂现有100件零件，其中正品90件，次品10件。有位工人现在随机从这100件零件中挑选1件，那么他挑选出正品的概率为0.9，即 正品P(X=正品)=p=0.9 。

定义：

若随机变量X的取值为0和1两种情况，且满足概率分布 P(X=1)=p,P(X=0)=1−p ，则X服从参数为 p 的两点分布。

2.二项分布（n重伯努利分布）

小故事：

还是上一位工人，他现在独立重复的挑了n个零件，则他挑出k件正品的概率为 个零件中有个正品P(X=n个零件中有k个正品) 。简单来说就是，我们进行了n次独立重复的伯努利实验，其中事件A发生的次数是一个随机变量。

定义：

若随机变量X的取值为 ，，，0，1，...，n ，且满足概率分布 P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−k ,则称X服从参数为 n,p 的二项分布， X∼B(n,p) 。

3.泊松分布

小故事：

还是那位工人，假设他现在不停歇的挑选零件，则挑出正品零件的个数是一个随机变量。

定义：

若随机变量X的取值为全体非负整数 ，，，0，1，2，... ，且满足概率分布 P(X=k)=1k!λke−λ,(λ>0) ，则称X服从参数 λ 的泊松分布。

4.超几何分布

小故事：

假设现在共有N个零件，D个不合格，现在这位工人不再一个一个的挑零件了，他一次性的挑出n个零件，则n个零件中不合格零件出现次数是一个随机变量。

定义：

若随机变量X的取值为 ，，，0，1，...，min{D,n} ,且服从概率分布 P(X=k)=CDkCN−Dn−kCNn,0≤k≤min{D,n} ，则称X服从超几何分布。

5.几何分布

小故事：

某枪手连续向目标进行射击，假设他射中目标的概率为p，则他首次射中目标所需的射击次数是一个随机变量。

定义：

若随机变量X的取值为全体正整数，且满足概率分布 P(X=k)=(1−p)k−1p ，则称X服从参数p的几何分布。

6.负二项分布

小故事：

还是那位枪手，现在他决定射中r次目标后停止，则他停止所需的射击次数是一个随机变量。

定义：

若随机变量X的取值为 r,r+1,... ，且满足概率分布 P(X=k)=(k−1r−1)pr−1(1−p)k−rp ，则称X满足参数p的负二项分布。

7.离散均匀分布

这个分布就很简单啦，比如抽签，买彩票等。

定义：

若随机变量X的取值为 ，，，1，2，...N，N>1 ，且满足概率分布 P(X=k)=1N ，则称X服从离散均匀分布。考点归纳

考点1：分布率（表格）

这类分布率的题目，我们需要记忆的是先求取值再求概率罗列表格！

3. 连续型随机变量及其分布

3.1 概率密度函数 (Probability Density Function, PDF)

4. 分布函数 (Cumulative Distribution Function, CDF)

正态分布

这里需要注意这个公式需要满足标准正态分布才可以使用也就是N(0, 1)，下图是更完整的公式图，这类题目的核心要点就是把正态分布标准化，然后利于标准化的一些公式进行计算，这里需要注意要背下来正态分布函数的密度函数公式，这个没那么好记住！

标准化的目的拿到大，可以利用公式5,,

考点归纳

考点1：计算密度函数/分布函数

考点2：以分布函数计算区间概率（连续）

考点3: 基于规范性去计算未知量

因为分布函数是单调的增加，最大是1,所以说F(正无穷)是等于1的，这里反之亦然，可以利用这个特性去计算一些特殊的东西，比如说这里的(2)是因为根据f(x)计算出来的F(x)是积分对应关系有未知数 c1 和 c2，利用概率规范性可以计算得到这些常量的确切值！

考点4:计算一个自变量X的分布

考点5: 计算离散函数的分布（联合，边缘，条件）

考点6: 计算连续函数的密度函数

切比雪夫不等式

期望与方差

协方差\相关系数（离散）

三大分布

连续函数的相关系数

公式没变化就是替换了方差和期望的计算公式，连续性的期望为取值密度再积分，例如

未知参数的估计量

无偏性与有效性

二维连续随机变量的分布率